Wko

Hur tomt Mandelbrotmängden hand

Mandelbrotmängden består av punkter plottas på en komplex plan för att bilda ett fractal: en slående form eller form i vilken varje del är faktiskt en miniatyr kopia av helheten. Den otroligt bländande bildspråk gömd i Mandelbrot Set var möjligt att se på 1500-talet tack vare Rafael Bombelli förståelse av imaginära tal - men det var inte förrän Benoit Mandelbrot och andra började utforska fraktaler med hjälp av att den hemliga universum avslöjades.


Nu när vi vet att det finns, kan vi ta upp det på ett mer primitivt sätt: för hand. Här är en metod för att visa en rå rendering av uppsättningen, bara för att förstå hur det är gjort, du kommer då att få en mycket djupare förståelse för de renderingar som du kan göra med hjälp av många datorprogram tillgängliga, eller att du kan visa på och.

Steg

Hur tomt Mandelbrotmängden hand. Label (även i svart) i mitten torget (0, 0).
Hur tomt Mandelbrotmängden hand. Label (även i svart) i mitten torget (0, 0).
  1. 1
    Förstå den grundläggande formel, ofta uttryckt som z = z 2 + c. Detta betyder helt enkelt att, för varje punkt i Mandelbrot universum vi vill se, vi håller beräkna z tills en av två situationer inträffar, då vi färgar det för att visa hur många beräkningar som vi gjort. Oroa dig inte! Detta blir tydligt i följande steg.
  2. 2
    Få 3 olikfärgade eller kritor, eller filtspets markörer, plus en svart eller att göra dispositionen. Anledningen till att vi vill ha tre färger är att vi ska göra en första approximation med högst 3 iterationer (pass, eller med andra ord, att använda formeln upp till 3 gånger per punkt):
  3. 3
    Med den svarta markören, rita en stor tic-tac-toe board, 3 av 3 rutor, på en bit papper.
  4. 4
    Label (även i svart) i mitten torget (0, 0). Detta är konstanten (c) värdet av den punkt i den exakta mitten av torget. Låt oss nu säga varje ruta är 2 enheter bred, så lägg och / eller subtrahera 2 till / från x-och y-värden för varje ruta, där x är det första numret och y är det andra numret. När du är klar, kommer det att se ut som vad du ser visas här. När du följer cellerna över, bör de y-värden (den andra siffran) vara samma, när du följer cellerna ned, bör x-värdena (det första numret) vara densamma.
  5. 5
    Beräkna det första passet, eller upprepning, av formeln. Du, som datorn (faktiskt, var den ursprungliga betydelsen av ordet "en person som beräknar") kan göra det själv. Låt oss börja med dessa antaganden:
    • Utgångs-z-värde för varje fyrkant är (0, 0). När det absoluta värdet av z, för en given punkt, är större än eller lika med 2, är denna punkt (och dess motsvarande kvadrat) sägs ha undgått Mandelbrotmängden. När det händer, kommer du färga torget i enlighet med antalet iterationer av formel du har sökt på den punkten.
    • Välj de färger du ska använda för pass 1, pass 2, och passerar 3. Låt oss anta rött, grönt och blått, respektive, för tillämpningen av denna artikel.
    • Beräkna värdet av z för det övre vänstra hörnet av tic-tac-toe ombord, förutsatt en utgångspunkt z-värde på 0 +0 I eller (0, 0) (se Tips för en bättre förståelse av dessa representationer). Vi användning av formeln z = z 2 + c som beskrivs i det första steget. Du kommer snabbt se att, i detta fall, z 2 + c är helt enkelt c z 2 + c>, eftersom noll kvadrat är fortfarande noll. Och vad är c för detta torg? (-2, 2).
    • Bestäm det absoluta värdet av denna punkt, det absoluta värdet av ett komplext tal (a, b) är kvadratroten av en 2 + b 2. Nu, eftersom vi kommer att jämföra detta med ett känt värde: 2, kan vi undvika att ta kvadratrötter genom att jämföra en 2 + B2 till 2 2, som vi vet lika 4. I denna beräkning, a = -2 och b = 2.
      • ([-2] 2 + 2 2) =
      • (4 + 4) =
      • 8, som är större än 4.
    • Det har undgått Mandelbrotmängden efter den första beräkningen, eftersom dess absoluta värde är större än 2. Färg det med det du valt för pass 1.
    • Gör samma sak för varje ruta på brädet, med undantag för centrum torget, vilket inte kommer att undgå Mandelbrotmängden den 3: e passet (kommer heller aldrig fly). Så du har bara använt två färger: passet 1 färg för alla de yttre rutorna, och passet 3 färg för mitt torget.
  6. 6
    Låt oss prova en kvadrat 3 gånger större, 9 av 9, men ändå hålla en högst 3 iterationer.
  7. 7
    Börja med den 3: e raden ner, eftersom det är där det blir intressant direkt.
    • Den första delen, (-2, 1) är större än 2 (eftersom (-2) 2 + 1 2 visar sig vara 5) så låt oss måla som ett rött, eftersom det undgår Mandelbrotmängden på första passet.
    • Det andra elementet, (-1.5, 1) visar sig inte vara större än 2. Tillämpa formeln för absolut värde, x 2 + y 2, med x = -1,5 och y = 1:
      • (-1.5) 2 = 2,25
      • 1 2 = 1
      • 2,25 + 1 = 3,25, mindre än 4, så kvadratroten är mindre än 2.
    • Så går vi vidare till våra andra passet, beräkna z 2 + c via genvägen (x 2-y 2, 2xy) för z 2 (se Tips för hur denna genväg härleds), fortfarande med med x = -1,5 och y = 1:
      • (-1.5) 2 till 01 februari blir 2,25-1, vilket blir 1,25;
      • 2xy, eftersom x är -1,5 och y är 1, blir 2 (-1.5), vilket ger -3,0;
      • Detta ger oss az 2 (1,25, -3)
      • Nu lägger c för denna cell (lägg x till x, y till y) flytning (-0.25, -2)
    • Låt oss testa om dess absoluta värde nu är större än 2:. Beräkna x 2 + y 2:
      • (-.25) 2 = 0,0625
      • -2 2 = 4
      • 0,0625 + 4 = 4,0625, kvadratroten ur som är större än 2, så det har undgått efter den andra iteration: vår första gröna!
      • När du blir bekant med beräkningar, kommer du att ibland kunna berätta vilka som undkomma Mandelbrotmängden bara genom en blick på siffrorna. I detta exempel, har y-komponenten en magnitud på 2, som när den kvadreras och adderas till det kvadrerade värdet av det andra talet, kommer att vara större än 4. Vilket som helst antal större än fyra kommer att ha en kvadratroten större än 2. Se tips nedan för en mer detaljerad förklaring.
    • Den tredje delen, med ac värde (-1, 1) undgår inte det första passet: eftersom både 1 och -1 då kvadrat är 1, x 2 + y 2 är 2. Så vi beräkna z 2 + c, via genvägen (x 2-y 2, 2xy) för z 2:
      • (-1) 2 -1 2 blir 1-1, vilket är 0;
      • 2xy är då 2 (-1) = -2;
      • z 2 = (0, -2)
      • tillsätta c får vi (0, -2) + (-1, 1) = (-1, -1)
    • Det är fortfarande samma absoluta värde som innan (kvadratroten ur två, ca 1,41), fortsätter med en tredje iteration:
      • ([-1] 2) - ([-1] 2) blir 1-1, vilket är 0 (återigen)...
      • men nu 2xy är 2 (-1) (-1), vilket är positivt 2, vilket gav az 2 värde på (0, 2)
      • tillsats av c får vi (0, 2) + (-1, 1) = (-1, 3), som har en a 2 + b 2 av 10, mycket större än 4.
    • Således detta undgår också. Färg cellen in med din tredje färg, blå, och gå vidare till nästa, eftersom vi har avslutat tre iterationer med denna punkt.
      • Det faktum att vi använder endast tre färger blir uppenbart som ett problem här, eftersom något som flyr efter bara 3 iterationer är färgad på samma sätt som (0, 0) som aldrig undgår, självklart har vi fortfarande inte ser något nära till Mandelbrot "bug" på denna nivå av detaljrikedom.
  8. 8
    Fortsätta beräkna varje cell tills den har rymt, eller du har uppnått det maximala antal iterationer (det antal färger du använder: 3 i detta exempel), då du färglägga den. Här är hur 9 av 9 matris ser ut efter 3 iterationer på varje kvadrat... Ser ut som om vi är på något!
  9. 9
    Iterera samma matris igen med fler färger (iterationer) för att avslöja de närmaste skikten, eller bättre, utarbeta en mycket större matris för ett mer långsiktigt projekt! Du får mer exakta bilder av:
    • Att öka antalet celler, detta har 81 celler per sida. Notera likheten till 9 av 9 matris ovan, men mycket mjukare kanter på cirkeln och ovala.
    • Öka antalet färger (iterationer), detta har 256 nyanser av vardera rött, grönt och blått för totalt 768 färger jämfört med 3. Observera att du nu kan se konturerna av den välkända Mandelbrot "sjö" (eller "bug", beroende på hur man ser på det). Nackdelen är den tid det tar, om du kan beräkna varje iteration i 10 sekunder, det är ca 2 timmar för varje cell i, eller nära, den Mandelbrot sjön. Fast det är en relativt liten del av de 81 av 81 matris, skulle det fortfarande förmodligen ta ett år att slutföra det, även om du jobbat på det i flera timmar varje dag. Det är där kisel typ av dator är praktiskt.

Tips

  • Varför z 2 = (x 2-y 2, 2xy)?
    • Till två komplexa tal som (a, b) med (c, d), använd följande formel, förklaras i denna MathWorld artikeln: (a, b) (c, d) = (ac - bd, bc + ad)
    • Tänk på att ett komplext tal har en "riktig" och en "imaginär" delen, med den sistnämnda är ett reellt tal multiplicerat med kvadratroten av negativ ett, ofta kallat i. Det komplexa talet (0, 0), till exempel, är 0 0 i, och (-1, -1) är (-1) + (-1 * i).
    • Fortfarande med oss? Tänk på att en och c a> termer är verkliga, och B-och D b> termer är imaginära. Så när de imaginära termer multipliceras ihop, ger den kvadratroten av negativ ett multiplicerat med sig själv negativ 1, motverkar resultatet och göra det verkliga, Dessa löpnummer ad och be ad> förbli imaginära, eftersom kvadratroten av negativ 1 är fortfarande en term för dessa produkter. Därför har vi ac - bd som den reella delen och bc + ad som den imaginära delen.
    • Nu, eftersom vi kvadrering siffrorna istället för att multiplicera två olika nummer, kan detta förenklas lite, eftersom a = c och b = d, vi har produkten som (a 2-b 2, 2ab). Och eftersom vi kartlägga den "komplexa planet" till "cartesianska planet", med x-axeln representerar "riktiga" och y x> axel som motsvarar "imaginära", kommer vi också hänvisa till detta som (x 2-y 2, 2xy) (x 2-y 2.
  • Vill du veta mer om att bedöma det absoluta värdet av ett komplext tal utan arbetade igenom beräkningarna?
    • Det absoluta värdet av ett komplext tal (a, b) är kvadratroten av en 2 + b 2, samma som formel för en rätvinklig triangel, eftersom a och b a> är representerade i rät vinkel mot varandra på det kartesiska rutnät (x-och y-koordinater, respektive). Eftersom vi vet att Mandelbrotmängden avgränsas av värdet 2, och kvadraten av 2 är 4, kan vi gå förbi behöva tänka kvadratrötter bara genom att se om x 2 + y 2> = 4.
    • Om endera benet av en rätt triangel har längd> = 2, då hypotenusan (diagonala sidan) måste också vara längre än 2. Om du inte ser varför det är så, rita några rätvinkliga trianglar på en kartesiska nätet och det kommer att bli uppenbart, eller bara tänka på det här sättet: 2 2 = 4, och lägga till en annan positivt tal till det (och kvadrering en negativt tal resulterar alltid i en positiv) kan inte leda till något mindre än 4. Därför, om antingen x eller y-komponent i ett komplext tal har en magnitud på 2 eller större, är det absoluta värdet av det antalet är större än eller lika med 2, och har undgått Mandelbrotmängden.
  • För att beräkna den "virtuella bredden" av varje cell, dividera den "virtuella diameter" i "antalet celler minus ett". Vi använder en virtuell diameter av fyra i ovanstående exempel, eftersom vi vill visa allt inom en radie på 2 (Mandelbrotmängden avgränsas med värdet av två). För 3-sidig approximation, brinner 4 / (3 - 1), som är 4/2, vilket motsvarar 2. För 9-sidig torg, det är 4 / (9 - 1). 2>, som är 4/8, vilket motsvarar 0,5. Använd samma virtuella cellen storlek i höjd och bredd, även om du gör en sida längre än den andra, annars Set kommer att snedvridas.
  • Om du beräknar en cell om och om igen, och märker ett resultat som är exakt samma som den du redan har för cellen, vet du att du fastnat i en oändlig loop, som cellen kommer aldrig undan! Så du kan ta en genväg, färg som cellen med din slutliga färg och hoppa till nästa. (0, 0) är naturligtvis en av dessa celler.

Varningar

  • Matematik kan bli mycket beroendeframkallande, som allt annat, men det förmodligen inte kommer att skada din lever eller orsaka lungcancer.