Den grundläggande Algebrans uppger att de komplexa talen ett polynom har lika många rötter som sin examen. Samtidigt, för höga polynom, kan dessa inte alltid hittas algebraiskt, kommer de tekniker här tillåter en att hitta alla rationella rötter och i gynnsamma fall, en del av de irrationella eller komplexa rötter. Andra kan beräknas numeriskt.
Steg
- 1Hitta den största gemensamma faktorn (GCF). Till exempel i det polynom 5x ^ 3 + 15x ^ 2 + 100x + 20, är varje koefficient en multipel av fem. Därför kan ekvationen förenklas genom att dela ut det här för att få 5 (x ^ 3 + 3x ^ 2 + 20x + 4), som har exakt samma rötter som x ^ 3 + 3x ^ 2 + 20x + 4.
- 2Alla kvadratiska (grad 2) polynom kan lösas algebraiskt. Faktorn om du kan göra det snabbt. Annars, använd den kvadratiska formel. Tips: Titta på den del av den kvadratiska ekvationen kallas diskriminantanalys (den del b ^ 2-4ac under radikal i den kvadratiska formel). Utvärderingen berättar den typen av lösningar. Till exempel, om resultatet är positivt det finns två reela lösningar, om resultatet är 0 finns det bara en lösning eftersom den kvadratiska är en perfekt kvadrat, och om diskriminantanalys är negativ, att lösningarna är komplexa konjugat (a + bi och a-bi). De är de ekvationer där i gymnasiet algebra klass de berätta de inte factorable över de reella talen, även kallad prime. Multiplicera (a + bi) (a-bi) = a ^ 2 + b ^ 2 enligt vår regel för "summan av kvadraterna."
- 3Använd Descartes regel tecken att lära sig något om tecknet för de verkliga rötterna. Denna regel ger det maximala antalet positiva och negativa reella rötter. Det kan också vara en multipel av två färre.
- Räkna teckenbyten (när skylten ändras från positivt till negativt): + x ^ 2 - x + 6 har två tecken förändringar mening finns det antingen två eller noll positiva nollor (i detta fall noll, eftersom den kvadratiska formeln visar både rötter att vara komplex).
- Ersätt varje x med en negativ x: (-x) ^ 2 - (-x) + 6. Förenkla här: x ^ 2 + x + 6 Räkna teckenändringar ot hitta antalet negativa reella rötter. Detta polynom har noll negativa nollor.
- 4Prova den rationella noll testet. De möjliga rationella nollor är P / Q där P delar den konstanta termen och Q delar koefficienten för variabeln med den högsta exponenten. Använd syntetiskt division för att testa varje kandidat för de rationella rötter. Se till att du testar både de positiva och negativa canditates om du inte vet från Descartes regel som antingen positiva reella eller negativa reella rötter är omöjligt.
- 5Om du misstänker att ditt polynom har en dubbel rot, beräkna av polynomet och dess första derivata. Om GCD är en konstant, då alla dina rötter är distinkta. Om GCD har grad större än ett, så har du hittat en faktor vars rötter är de många rötterna i det ursprungliga polynomet.
Tips
- Cubic och Quartic formler existerar liknar den kvadratiska formel, men är mycket mer komplicerad och är inte ofta används utom genom dator. Polynom av grad 5 och högre är i allmänhet olösliga om de kan vägas.
- Det finns många sätt att hitta de nollor. Några av dessa verktyg fungerar endast i vissa särskilda fall, och du ofta inte vet om det hjälper med din polynom eller inte förrän du prova det. Därför är det bra att veta så många tricks som du kan för att maximera sannolikheten att åtminstone en av dem kommer att gälla.
- Efter lokalisering någon rot eller faktor, upp originalet polynom av irreducibla polynom av denna rot. (Det minskar din examen och gör att hitta de andra rötterna lättare.) Om du söker efter rationella rötter x ^ 3-1 fynd x = 1 då (x ^ 3-1) / (x-1) = x ^ 2 + x + en som innehåller de återstående rötterna. Detta är också ett enkelt sätt att kontrollera ditt arbete. Om du tror att x = 3 är en lösning, men kan inte dela (x-3) i den ursprungliga polynomet utan resten, då du har gjort ett misstag.
- Begreppen rötter, nollor och lösningar hänvisar alla till värdena på x som gör f (x) = 0. De kan användas omväxlande.
- När du arbetar ut ett problem, se till att skriva ner varje steg och kolla tillbaka över ditt arbete för misstag.
Varningar
- Använd en penna!
- Var försiktig och alltid se till att du dubbelkolla ditt arbete så att du inte missar dessa enkla små misstag som du kanske missar.
- Om du får ett imaginärt tal glöm inte att det kommer att bli en nolla på det numret och dess comples konjugat. Om (x-3i) är en rot, då så är (x +3 i).
- När syntetiskt dela, glöm inte att använda både positiva och negativa faktorer.