Wko

Hur att hitta inversen av en kvadratisk funktion

Beräkning av inversen av en linjär funktion är enkel: bara göra x ämnet av ekvationen, och ersätta y med x i det resulterande uttrycket. Att hitta det inverterade värdet av en kvadratisk funktion är betydligt svårare, inte minst eftersom kvadratiska funktioner är inte, såvida inte begränsas av en lämplig domän, en-en fungerar.

Steg

Hur att hitta inversen av en kvadratisk funktion. Se till att värdet av h är antingen på gränsen av domänen, eller utanför den.
Hur att hitta inversen av en kvadratisk funktion. Se till att värdet av h är antingen på gränsen av domänen, eller utanför den.
  1. 1
    Gör y eller f (x) är föremål för formeln om den inte redan är. Under din algebraiska manipulationer, se till att du inte ändrar funktionen på något sätt och utför samma operationer på båda "sidor" av ekvationen.
  2. 2
    Ändra ordning funktionen så att den är i formen y = a (xh) 2 + k. Detta är inte bara viktigt för dig att hitta inversen av funktionen, men också för dig att avgöra om funktionen även har en invers. Du kan göra detta genom två metoder:
    • Genom att fylla torget
      1. "Take gemensam" från hela ekvationen värdet av en (koefficienten för x 2). Gör detta genom att skriva värdet av en, starta en konsol, och skriva hela ekvationen, sedan dividera varje term med värdet av en, som visas i diagrammet till höger. Lämna den vänstra sidan av ekvationen orörd, eftersom det har skett någon förändring netto till den högra sidan.
      2. Slutför torget. Koefficienten för x är (b / a). Halvera det, för att ge (b/2a), och Square det, för att ge (b/2a) 2. Addera och subtrahera det från ekvationen. Detta kommer att ha någon nettoeffekt på ekvationen. Om du tittar noga, ser du att de tre första villkoren i konsolen är i form en 2 +2 ab + b 2, där a är x och b är (b/2a). Naturligtvis dessa två värden är numeriska, snarare än algebraisk för en riktig ekvation. Detta är en färdig kvadrat.
      3. Eftersom de tre första villkoren är nu en perfekt kvadrat, kan du skriva dem i formen (ab) 2 eller (a + b) 2. Tecknet mellan de två termerna kommer att vara samma som tecknet för koefficienten för x i ekvationen.
      4. Ta den term som är utanför den perfekt kvadrat ur klammer. Detta ger ekvationen i formen y = a (xh) 2 + k y = a (xh) 2, som avsett.
    • Genom att jämföra koefficienter
      1. Bilda en identitet i x. Till vänster, lägg funktionen som det uttrycks i termer av x, och till höger sätter funktionen i den form som du vill att det ska vara, i detta fall en (xh) 2 + k a (xh) 2. Detta ger dig möjlighet att ta reda på värdena för en, h och k som är sant för alla värden på x.
      2. Öppna och utöka fästet på höger sida av identiteten. Vi skall inte röra den vänstra sidan av ekvationen, och kan utelämna det från vårt arbete. Observera att alla arbetar på höger sida är algebraisk som visas och inte numeriskt.
      3. Identifiera koefficienterna för varje makt x. Sedan grupperar dem och placera dem inom parentes, som visas till höger.
      4. Jämför koefficienterna för varje makt x. Koefficienten för x 2 på höger sida måste vara lika det på den vänstra sidan. Detta ger värdet av en. Koefficienten för x på högra sidan också måste vara lika det på den vänstra sidan. Detta leder till bildandet av en ekvation i en och h, som kan lösas genom att ersätta värdet på en, som redan har hittats. Koefficienten för x 0, eller 1, på vänster sida måste även vara lika med det på den högra sidan. Jämföra dem ger en ekvation som kommer att hjälpa oss att hitta värdet på k.
      5. Hjälp av värdena på en, fann h och k ovan kan vi skriva ekvationen i den önskade formen.
    • 3
      Se till att värdet av h är antingen på gränsen av domänen, eller utanför den. Värdet på h ger x-koordinaten för vändpunkt av ekvationen. En vändpunkt inom domänen skulle innebära att funktionen inte är en-on, och därför inte har en invers. Notera att ekvationen är en (x -H) 2 + k. Alltså, om det finns (x +3) i konsolen, är värdet på h. negativa 3.
    • 4
      Gör (xh) 2 föremål i din formel. Gör detta genom att subtrahera värdet på k från båda sidor av ekvationen, och sedan dividera båda sidor av ekvationen med en. Genom att nu kommer du att ha numeriska värden för a, h och k, så använd dem, inte symbolerna.
    • 5
      Square-root båda sidor av ekvationen. Detta kommer att ta bort kraften i två från (xh). Glöm inte att sätta "+ / -"-tecknet på den andra sidan av ekvationen.
    • 6
      Bestäm mellan + och - Sign, eftersom du inte kan ha båda (med båda skulle göra det en en till många "funktion", vilket skulle göra det ogiltigt samma). För detta, titta på den domänen. Om domänen ligger till vänster om den stationära punkten, dvs x <ett visst värde, använd - tecknet. Om domänen ligger till höger om den stationära punkten, dvs x> ett visst värde, använd + tecknet. Sedan gör x ämnet för formeln.
    • 7
      Ersätt y med x, och x med f -1 (x), och gratulera dig själv för att framgångsrikt ha funnit inversen av en kvadratisk funktion.

Tips

  • Om det inte är för mycket besvär du kan också kontrollera det omvända genom att inspektera dess graf. Det ska se ut som den ursprungliga funktionen reflekterade över linjen y = x.
  • Kontrollera din inverterade genom att beräkna värdet av f (x) för ett visst värde på x, och därefter ersätta detta värde för f (x) i den omvända för att se om den returnerar det ursprungliga värdet för x. Till exempel, om funktionen av 3 [f (3)] är 4, bör sedan ersätta 4 i den inversa returnera 3.