Hur faktor trinomials

1. 1
   Faktor ut några faktorer som är gemensamma för alla tre termer. Om trinomialpantheraen är konstanter är alla multipler av samma nummer, kan den siffran vara räknas bort, eller om varje komponent i trinomialpantheraen visar en vanlig variabel, kan denna variabel vägas in.
   

Kvadratiska trinomials

1. 1
   Beställ trinomialpantheraen med sina argument från största till minsta. Argumentet är variabel i polynomet, den normala ordningen för notering villkoren är från den högsta makten till den lägsta. Således, 5 + x2 + 6x bör ordnas som x ^ 2 + 6x + 5.
   
   • Således, i den trinomialpantheraen 3x2 + 18x + 15, är varje konstant en multipel av 3, så att tre kan faktoriseras ut för att göra tre (x2 + 6x + 5).
   • I trinomialpantheraen - X2 - 2x - 1, varje komponent har multiplicerats med -1, vilket kan vägas in och skrivit (-1) (x ^ 2 + 2x + 1) eller mer vanligt - (x2 + 2x + 1).
   • I trinomialpantheraen 3x ^ 2 y + 3xy - 60y, varje komponent har multiplicerats med 3y, som kan faktoriseras ut för att göra 3y (x ^ 2 + x - 20).
2. 2
   Bryt ner trinomialpantheraen i 2 binomial faktorer. En binomial är ett polynom med två komponenter i formen mx + n, där m och n representerar numeriska konstanter. Den första termen i varje av de 2 binomial faktorer kommer att vara en av de faktorer i den första termen i trinomialpantheraen (ax ^ 2) och den andra termen i vardera av de 2 binomial faktorer kommer att vara en av de faktorer i den tredje termen ( c). Multiplicera den första termen i första binomial av den andra termen i andra binomial och lägga till produkten av den första termen i andra binomial multiplicerat med den andra termen i första binomial ska producera den andra termen i trinomialpantheraen (bx).
   
   • Således, för trinomialpantheraen x ^ 2 + 6x + 5, kommer den första termen i varje binomial faktorn vara x, eftersom x gånger x producerar x ^ 2. De sista villkoren för varje binomial faktor är 5 och 1, eftersom 5 gånger 1 är lika med 5. De binomial faktorer är (x + 5) (x + 1), vilket kan kontrolleras genom att multiplicera den första termen i första binomial av den andra termen i andra binomial, producerar x, och lägga till det i den andra termen i första binomial gånger den första termen i andra binomial, eller 5x, vilket gör en summa av 6x, den andra termen i trinomialpantheraen.
   • När det finns flera möjliga faktorer för ett av talen, har rätt värde för varje binomial att vara motiverad ut. För trinomialpantheraen x ^ 2 + x - 20, medan den första termen i varje binomial faktor kommer att vara x, eftersom värdet av en i trinomialpantheraen uppfattas som 1, kan det absoluta värdet av c, 20, vägas in 20 gånger 1, 10 gånger 2, eller 5 gånger 4. Titta på värdet på b, vilket är 1, måste de faktorer i den andra termen i varje binomial lägga till 1. Eftersom det verkliga värdet på c är ett negativt tal, - 20, en av de faktorer måste vara negativt, eftersom ett positivt tal gånger ett negativt tal är ett negativt tal. Som 5-4 (eller 5 plus - 4) är lika med 1, är den korrekta paret av binomial faktorer (x + 5) (x - 4).

Bestämma rätt binomial faktorer i särskilda fall

1. 1
   Kontrollera för att se om den konstant i antingen den första eller den tredje termen i trinomialpantheraen är ett primtal. Ett primtal kan delas jämnt endast av sig själv och en. Detta minskar antalet möjliga binomial faktorer. I exemplet som tidigare givits av x ^ 2 + 6x + 5, eftersom 5 är ett primtal, finns det bara en möjlig uppsättning binomial faktorer, (x + 5) (x + 1).
   
2. 2
   Kontrollera för att se om trinomialpantheraen är en perfekt kvadrat. Perfekta kvadrater är resultatet av nummer som multiplicerat med sig själva: 1 * 1 = 1, 2 * 2 = 4, 3 * 3 = 9, och så vidare. För trinomialpantheraen ax ^ 2 + bx + c för att vara en perfekt kvadrat, måste värdena för a och c vara perfekta kvadrater, och värdet på b måste fördubbla värdet av produkten av torget rötter a och c..
   
   • Trinomialpantheraen x ^ 2 + 6x + 9 är en perfekt kvadrat och kan vägas som (x + 3) (x + 3). Värdet på a är 1, som är en kvadrat, medan värdet av c är 9, som är tre i kvadrat, och värdet på b är 6, vilket är dubbelt produkten av de kvadratrötterna ur a och c, eller 2 (1 * 3).
   • Trinomialpantheraen 4x ^ 2 + 12x + 9 är också en perfekt fyrkant och kan vägas som (2x + 3) (2x + 3). Värdet på a är 4, vilket är 2 kvadrat, medan värdet av c är återigen 9, eller 3 i kvadrat, och värdet på b är 12, dubbla produkten av de kvadratrötterna ur a och c, eller två (2 * 3 ).
   • Notera att för ett trinomialpantheraen att vara en perfekt kvadrat, måste värdena på a och c alltid vara positiva tal. Om båda är negativa, första faktorn ut -1 från varje term i trinomialpantheraen att göra dessa värderingar positiv, vilket också kommer att vända tecken på b från positivt till negativt eller från negativt till positivt.
3. 3
   Se om "trinomialpantheraen" är faktiskt en factorable binomial. Vissa binomials kan vägas in komponent binomials precis som trinomials kan. Dessa är skriven i form ax ^ 2 - c, där a och c är vardera perfekta kvadrater. (De kan förstås som trinomials där värdet på b är noll.) I binomial par där den första och andra villkor för varje binomial är identiska Dessa binomials faktor, förutom den första har ett plustecken mellan de villkor och den andra har en subtraktion underteckna.
   
   • Till exempel den binomial 4 x ^ 2-9 faktorer i (2x + 3) (2x - 3), eftersom två är kvadratroten av 4 och 3 är kvadratroten av 9. Eftersom multiplicera en positivt med ett negativt tal ger ett negativt tal, har en binomial av paret ett plustecken före 3 och den andra har en minustecknet. Multiplicera paren ut producerar 4x ^ 2 + 6x - 6x - 9, eller helt enkelt 4x ^ 2 - 9.

Quadratics i en dold variabel

Vissa trinomials kan nominellt verkar vara av en hög grad, men är i huvudsak bara kvadratiska. När identifierats, kan de behandlas som sådana.

1. 1
   Titta på variablerna i varje termin. Till exempel, x ^ 6 - 7x ^ 3 + 12 verkar ha grad 6, men efter att ha gjort substitution, u = x ^ 3, blir det u ^ 2 - 7U + 12. Detta gäller multivariabla polynom också. Till exempel, x ^ 5Y - förenklar 7x ^ 3y ^ 2 + 12y ^ 3 till xy ^ 3 (u ^ 2 - 7U + 12) efter substitutionen u = x ^ 2 / y. En sådan substitution kommer att vara möjligt när summan av grader av två termer är dubbelt graden av kvarvarande löptid.
   
2. 2
   Om en sådan substitution kan göras, faktor enklare polynom, i detta fall, u ^ 2 - 7U + 12 = (U-3) (U-4)
   
3. 3
   Lossa substitution presentera lösningen i den ursprungliga variabeln, x. Det vill säga, x ^ 6 - 7x ^ 3 + 12 = (x ^ 3 - 3) (x ^ 3 - 4). Om möjligt eller önskvärt, ytterligare minska varje faktor.
   

Eisenstein kriterier

Denna sats gäller för polynom med valfritt antal termer, men gäller särskilt lätt att trinomials eftersom de flesta koefficienterna är noll. Det är inte ett factoring teknik, men kan identifiera när ett polynom är irreducibelt.

1. 1
   Hitta alla primtal, p, som delar både den konstanta termen och medellång sikt.
   
2. 2
   För varje, kontrollera följande två villkor.
   
   • Den konstanta termen måste vara en multipel av p, men inte en multipel av p ^ 2.
   • Den ledande termen får inte vara en multipel av p.
3. 3
   Om det finns ett förstklassigt som delar alla koefficienter utom den ledande koefficienten, men bara delar den konstanta termen gång, då polynomet är irreducibelt. Eisenstein gör att man snabbt avgöra att 14x ^ 9 + 45x ^ 4 + 51 är irreducible eftersom prime 3 delar 45 och 51, men inte 14 och 9 inte dela 51.
   

Quadratics i en variabel

Trinomials av högre grad i flera variabler kan visa sig vara kvadratisk eller till och med linjär i en av variablerna.

1. 1
   Betrakta en trinomialpantheraen som 4x ^ 3y ^ 2 - 5x ^ 4 + 15y. Det är graden 5 i x och y, men bara graden två i y.
   
2. 2
   Rewrite som ett polynom i den variabeln, behandla alla andra variabler som koefficienter. Det är, skriver som (4x ^ 3) y ^ 2 + (15) y - (5x ^ 4).
   
3. 3
   Lös för y i termer av X med hjälp av kvadratiska formel.