Hur du tar derivat i kalkylen

1. 1
   Förstå derivatan notation. Följande två beteckningar är det vanligaste, men det finns otaliga andra som kan hittas på Wikipedia.
   
   • Leibniz notation Denna notation är vanligast när ekvationen innebär y och x. dy / dx betyder bokstavligen "derivatan av y med avseende på x.." Det kan vara bra att tänka på det som Ay / Ax för värden på x och y som är oändligt olika varandra. Denna förklaring lämpar sig till gränsen definitionen på ett derivat: lim _{h-> 0} (f (x + h)-f (x)) / h. När du använder denna notation för andra derivatan, måste du skriva: d ² y / dx ^2.
   • Lagranges Notation Derivatan av en funktion f är även skrivet som f '(x). Denna notation uttalas "f prim av x". Denna notation är kortare än Leibniz notation, och är till hjälp när man tittar på derivatan som en funktion. För att bilda högre ordningens derivator, helt enkelt lägga till en annan "'" till "f", så den andra derivatan skulle vara f'' (x).
2. 2
   Förstå vad derivatet är, och varför det används. Först av allt, för att hitta lutningen av en linjär graf, är två punkter på linjen tas, och deras koordinater och pluggas in i ekvationen (y ₂ - y ₁₎ / (x ₂ - x _1). Detta kan dock endast användas med linjära grafer. För andragradsekvationer och ovan, kommer linjen vara böjd, kommer så tar den "skillnaden" mellan två punkter inte vara korrekt. För att hitta lutningen på en tangent av en böjd kurva, är två punkter tas, och ansluts till standard ekvationen för att hitta lutningen av en böjd graf: [f (x + dx) - f (x)] / dx. Dx står för "delta x", som är skillnaden mellan de två x-koordinaterna för de två punkterna från grafen. Lägg märke till att denna ekvation är densamma som (y ₂ - y ₁₎ / (x ₂ - x _1), bara i en annan form. Eftersom det är redan känt att resultatet kommer att bli felaktiga, har ett indirekt angreppssätt tillämpas. För att finna lutningen av tangenten vid (x, f (x)), måste dx närma 0, så att de två punkter som togs slås samman till en enda punkt. Däremot kan du inte dela med 0, så efter att du kopplar in två poäng värderingar, måste du använda factoring och andra metoder för att avbryta för dx i botten av ekvationen. När du har gjort det, ställa dx till 0 och lösa. Detta är lutningen av tangenten vid (x, f (x)). Derivatan av en ekvation är den generiska ekvationen för att hitta sluttningarna av varje tangent till en graf. Detta kan tyckas väldigt komplicerat, men det finns några exempel nedan, som hjälper att klargöra hur man får derivatan.
   

Explicit differentiering

1. 1
   Använd explicit differentiering när din ekvation redan har y åt sidan.
   
2. 2
   Anslut ekvationen i ekvationen [f (x + dx) - F (x)] / dx. Till exempel, om ekvationen var y = x ^2, skulle derivatet bli [(x + dx) ² - x ^2] / dx.
   
3. 3
   Expandera och faktor ut dx att bilda ekvationen [dx (2x + dx)] / dx. Nu kan du radera ut de två dx s på toppen och botten. Resultatet är 2x + dx, och när dx närmar sig 0 är derivatan 2x. Detta innebär att lutningen på någon tangent av grafen y = x ² är 2x. Bara koppla in x-värdet för den punkt där du vill hitta lutningen.
   
4. 4
   Lär mönster för att härleda liknande typer av ekvationer. Nedan finns några.
   
   • Derivatan av någon makt är makten gånger det värde till makten minus 1. Till exempel är derivatan av x ⁵ 5x ^4, och derivatan av x ^3,5 är 3,5 x ^2,5. Om det redan finns ett antal framför x, bara multiplicera det med makt. Till exempel är derivatan av 3x ⁴ 12x ^3.
   • Derivatan av en godtycklig konstant är noll. Så, är derivatan av 8 0.
   • Derivatan av en summa är summan av dess enskilda derivat. Exempelvis derivatan av x ³ + 3x ² är 3x ² + 6x.
   • Derivatan av en produkt är den första faktorn gånger derivatan av den andra faktorn plus de andra gånger faktor derivatan av första. Exempelvis derivatan av x ³ (2x + 1) är x ³ (2) + (2x + 1) 3x ^2, vilket motsvarar 8x ³ + 3x ^2.
   • Derivatan av en kvot (säg, f / g) är [g (derivatan av f) - f (derivatan av g)] / g ^2. Exempelvis derivatan av (x ² + 2x - 21) / (x - 3) är (x ² - 6x + 15) / (x - 3) ^2.

Implicit differentiering

1. 1
   Använd implicit differentiering när din ekvation inte kan lätt skrivas med y på ena sidan bara. Även om du har skrivit det med y på ena sidan, skulle computing dy / dx vara tråkiga. Nedan är ett exempel på hur du skulle lösa denna typ av ekvation.
   
2. 2
   I detta exempel, x ² y + 2y ³ = 3x + 2y, ersätt y med f (x), så att du kommer ihåg att y är egentligen en funktion. Ekvationen blir då x ² f (x) + 2 [f (x)] ³ = 3x + 2f (x).
   
3. 3
   För att hitta derivatan av denna ekvation, differentiera (ett stort ord för att hitta derivatan) båda sidor av ekvationen med avseende på x. Ekvationen blir då x ² f '(x) + 2xf (x) + 6 [f (x)] ² f' (x) = 3 + 2f '(x).
   
4. 4
   Byt f (x) med y igen. Var noga med att inte göra samma sak med f '(x), som är annorlunda än f (x).
   
5. 5
   Lös för f '(x). Svaret på detta exempel kommer ut till (3 - 2xy) / (x ² + 6y ² - ^2).
   

Högre ordningens derivator

1. 1
   Med en högre ordningens derivata av en funktion bara innebär att du tar derivatan av derivatet (för beställning av 2). Till exempel, om den ber dig att ta den tredje ordningens derivata, bara ta derivatan av derivatan av derivatan. För vissa ekvationer, kommer de högre ordningens derivator når 0.
   

Kedjeregeln

1. 1
   När y är en differentierbar funktion av z, och z är en differentierbar funktion av x, y är en sammansatt funktion av x, och derivatan av y med avseende på x. (dy / dx) är (dy / du) * (du / dx). Kedjeregeln kan också vara sammansatta makt ekvationer, som den här: (2x ⁴ - x) ^3. För att hitta derivatan, tänk gillar produkten regeln. Multiplicera ekvationen med makt och minska effekten av 1. Multiplicera sedan ekvationen genom derivatan av insidan av makten (i det här fallet, 2x ^ 4 - x). Svaret på detta problem kommer ut till 3 (2x ⁴ - x) ² (8x ³ - 1).