Hur man använder regeln om 72

Regeln om 72 är en praktisk regel som används i finansiering för att uppskatta snabbt antalet år det tar att fördubbla en summa av kapitalet ges en årlig ränta, eller att uppskatta den årliga räntan det tar att fördubbla en summa pengar under en given antal år. Regeln säger att ränta procentenheter gånger antalet år det tar att fördubbla ett kapitalbelopp om pengar är ungefär lika med 72.

Rule of 72 är tillämplig i exponentiell tillväxt (som i) eller i exponentiellt avtagande.

• Värdet 72 väljs som ett bekvämt val av täljaren, eftersom den har många små divisors: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, och 12. Det ger en god approximation för årlig kompoundering, och för blandning vid typiska hastigheter (från 6% till 10%). De approximationer är mindre exakt på högre räntor.
• För att uppskatta fördubbling tid för högre priser, justera 72 genom tillsats av 1 per 3 procent större än 8%. Det är, T = [72 + (R - 8%) / 3] / R. Till exempel, om räntan är 32%, den tid det tar att fördubbla en viss summa pengar är T = [72 + (32 - 8) / 3] / 32 = 2,5 år. Observera att 80 används här i stället för 72, vilket skulle ha gett 2,25 år för fördubbling tid.
• För kontinuerlig förräntning, ger 69,3 (eller ca 69) mer exakta resultat, eftersom ln (2) är ca 69,3%, och R * T = ln (2), där R = tillväxt (eller förfall) ränta, T = fördubblingen ( eller halvering) gång, och ln (2) är den naturliga logaritmen av 2. 70 kan också användas som en approximation för kontinuerlig eller dagligen (som ligger nära kontinuerliga) kompoundering, för enkel beräkning. Dessa variationer är kända som regel av 69,3, regeln om 69 eller regel 70.
  • En liknande noggrannhet justering för rättsstatens 69,3 används för höga med daglig Compounding: T = (69,3 + R / 3) / R.
• Felix följd av regeln om 72 används för att approximera det framtida värdet av en livränta (en serie av regelbundna betalningar). Det sägs att det framtida värdet av en livränta vars procentsats ränta och antalet betalningar multipliceras vara 72 kan approximeras genom att multiplicera summan av de betalningar gånger 1.5. Till exempel kommer 12 periodiska utbetalningar för 750€ växer med 6% per period vara värd cirka 13440€ efter den sista perioden. Detta är en tillämpning av Felix Korollarium till regeln om 72 sedan 6 (den procentuella räntan) gånger 12 (antal betalningar) är lika med 72, så värdet av den livränta ungefär 1,5 gånger 12 gånger 750€.
• Den Eckart-McHale andra ordningens regel eller EM regel ger en multiplikativ korrigering till regeln om 69,3 eller 70 (men inte 72), för bättre noggrannhet för högre intervall ränta. För att beräkna EM approximation, multiplicera Rule of 69,3 (eller 70) resultatet med 200 / (200-R), dvs T = (69,3 / R) * (200 / (200-R)). Till exempel, om räntan är 18%, säger Rule of 69,3 t = 3,85 år. EM Rule multiplicerar detta med 200 / (200-18), vilket ger en fördubbling tid på 4.23 år, som bättre approximerar den faktiska fördubbling tid 4.19 år i denna takt.
  • Den tredje ordningens Padé approximant ger ännu bättre approximation, med korrektionsfaktorn (600 + 4R) / (600 + R), dvs T = (69,3 / R) * ((600 + 4R) / (600 + R)). Om räntan är 18%, ger den tredje ordningens Padé approximant T = 4.19 år.
• Här är en tabell över antalet år det tar att fördubbla en viss summa pengar vid olika räntesatser och jämföra approximation med olika regler:

• Låt regeln om 72 arbete för dig, genom att starta sparande nu. Vid en tillväxttakt på 8% per år (den ungefärliga avkastningen på aktiemarknaden), skulle du dubbla dina pengar i 9 år (8 * 9 = 72) under 18 år, fyrdubbla dina pengar, och har 16 gånger pengarna under 36 år.

Härledning

Periodisk kompoundering

1. För periodisk Compounding, FV = PV (1 + r) ^ T, där FV = framtida värde, PV = nuvärde, r = tillväxttakten, T = tid.
2. Om pengar har fördubblats, FV = 2 * PV, så 2PV = PV (1 + r) ^ T, eller 2 = (1 + r) ^ T, förutsatt att nuvärdet är inte noll.
3. Lös för T genom att ta naturliga stockar på båda sidor, och ordna, för att få T = ln (2) / ln (1 + r).
4. Den Taylor-serien för ln (1 + r) runt 0 är r - r ^2/2 + r ^3/3 -... För låga värden på r, bidragen från de högre makt termer är små, och uttrycket närmar r, så att t = ln (2) / r..
5. Observera att ln (2) ~ 0.693, så att T ~ 0.693 / r (eller T = 69,3 / R, uttrycker räntan i procent R från 0-100%), vilket är regeln om 69,3. Andra siffror som 69, 70 och 72 används för enklare beräkningar.

Kontinuerlig kompoundering

1. För periodisk Compounding med flera Compounding per år, är det framtida värdet som ges av FV = PV (1 + r / n) ^ nT, där FV = framtida värde, PV = nuvärde, r = tillväxttakten, T = tid, och n = antalet räntebärande perioder per år. För kontinuerlig kompoundering, n närmar sig oändligheten. Använda definitionen av e = lim (1 + 1 / n) ^ n som n går mot oändligheten, blir uttrycket FV = PV e ^ (RT).
2. Om pengar har fördubblats, FV = 2 * PV, så 2PV = PV e ^ (RT), eller 2 = e ^ (RT), förutsatt att nuvärdet är inte noll.
3. Lös för T genom att ta naturliga stockar på båda sidor, och ordna, för att få T = ln (2) / r = 69,3 / R (där R = 100R att uttrycka tillväxttakt i procent). Detta är regeln om 69,3.

• Låt inte regeln om 72 arbete mot dig, när du tar på hög ränta skuld. Undvik kreditkort skuld! Vid en genomsnittlig ränta på 18%, fördubblar kreditkort skuld på bara 4 år (18 * 4 = 72), och fyrbäddsrum i bara 8 år, och håller eskalerar med tiden. Undvik kreditkort skuld som pesten.