Wko

Hur lösa trigonometriska ekvationer

En trig ekvationen är en ekvation som innehåller en eller flera trigonometriska funktioner för den variabla trig båge x. Lösa ut x innebär att hitta värdena för trig bågar vars trig funktioner gör trig ekvationen sant.

  • Svar, eller värden av lösningen bågar och uttrycks i grader eller radianer. Exempel:

x = Pi / 3, x = 5Pi / 6, x = 3pi / 2, x = 45 grader., X = 37.12 °., X = 178,37 deg.

  • Obs: På trig enhetscirkeln, de trigonometriska funktionerna av någon ljusbåge är samma trigonometriska funktioner motsvarande vinkel. Den trig enhetscirkeln definierar alla trigonometriska funktioner av variabeln arc x. Det används också som bevis för att lösa grundläggande trigonometriska ekvationer och olikheter.
  • Exempel på trigonometriska ekvationer:
    • sin x + sin 2x = 1/2; tan x + cot x = 1,732;
    • cos 3x + sin 2x = cos x, 2sin 2x + cos x = 1.
  1. Den trig enhetscirkeln.
    • Det är en cirkel med radien = 1 enhet, med O som ursprung. Den trig enhetscirkeln definierar fyra huvudsakliga trigonometriska funktioner av variabeln arc x som roterar moturs på det.
    • När bågen, med värdet x, varierar på trig enhetscirkeln:
    • Den horisontella axeln OAX definierar trig funktionen f (x) = cos x.
    • Den vertikala axeln definierar Oby den trig funktionen f (x) = sin x.
    • Den vertikala axeln AT definierar trig funktionen f (x) = tan x.
    • Den horisontella axeln BU definierar trig funktionen f (x) = x barnsäng.
  • Den trig enhetscirkeln används också för att lösa grundläggande trigonometriska ekvationer och enkla trigonometriska ojämlikhet genom att betrakta de olika positionerna bågen x på denna cirkel.

Steg

Hur lösa trigonometriska ekvationer. Vet hur man kan lösa grundläggande trigonometriska ekvationer.
Hur lösa trigonometriska ekvationer. Vet hur man kan lösa grundläggande trigonometriska ekvationer.
  1. 1
    Vet lösa konceptet.
    • För att lösa en trig ekvationen, omvandla det till en eller flera grundläggande trigonometriska ekvationer. Lösa trigonometriska ekvationer resulterar slutligen i att lösa 4 typer av grundläggande trigonometriska ekvationer.
  2. 2
    Vet hur man kan lösa grundläggande trigonometriska ekvationer.
    • Det finns 4 typer av grundläggande trigonometriska ekvationer:
      • sin x = bokstaven; cos x = a
      • tan x = a; barnsäng x = a
      • Lösa enkla trigonometriska ekvationer fortskrider genom att studera de olika positionerna på kurvans x som roterar på trig cirkel, och genom att använda trig omvandlingstabell (eller räknare). För att fullt kunna lösa dessa grundläggande trigonometriska ekvationer, och liknande, se bok med titeln: "Trigonometri: Lösa trigonometriska ekvationer och olikheter" (Amazon E-bok 2010).
    • Exempel 1. Lös sin x = 0,866. Två svar som ges av omvandlingstabeller (eller miniräknare), och trig enhetscirkeln:
      • x1 = Pi / 3 + 2k.Pi
      • x2 = 2Pi / 3 + 2k Pi
    • Exempel 2. Lös: cos x = -1 / 2
      • x1 = 2Pi / 3 + 2k.Pi
      • x2 =-2Pi / 3 + 2k.Pi
    • Exempel 3. Lös: tan (x - pi / 4) = 0
      • Svar: x = Pi / 4 + k.Pi
    • Exempel 4. Lös barnsäng 2x = 1,732
      • Svar: x = Pi/12 + k.Pi / 2
  3. 3
    Lär transformationer som används för att lösa trigonometriska ekvationer.
    • Att omvandla en given trig ekvation i grundläggande trigonometriska kära, använd vanliga algebraiska transformationer (factoring, gemensam faktor, polynom identiteter...), definitioner och egenskaper av trigonometriska funktioner och trigonometriska identiteter. Det finns omkring 31, bland dem de senaste 14 trigonometriska identiteter tillåts från den 19 till 31, kallas Transformation identiteter, eftersom de används i omvandlingen av trigonometriska ekvationer. Denna bok visar hur man förvandlar en given trig ekvation i grundläggande trigonometriska ekvationer.
  4. 4
    Exempel: trig ekvation: sin x + sin 2x + sin 3x = 0 kan omvandlas, med användning av trigonometriska identiteter, till en produkt av grundläggande trigonometriska ekvationer:. 4cos x.sin (3x / 2) cos (x / 2) = 0. De grundläggande trigonometriska ekvationerna som ska lösas är: cos x = 0; sin (3x / 2) = 0, och cos (x / 2) = 0.
  5. 5
    Hitta bågarna vars trig-funktioner är kända.
    • Innan lära lösa trigonometriska ekvationer, måste du veta hur du snabbt hitta bågarna som trig-funktioner är kända. Konvertering värden bågar (eller vinklar) ges av trigonometriska tabeller eller miniräknare.
    • Exempel: Efter att lösa, får cos x = 0,732. Miniräknare ger lösningen arc x = 42.95 grader. Den trig enhetscirkeln ger annan lösning bågar som har samma cos värde.
  6. 6
    Plotta lösningen bågar på trig enhetscirkeln.
    • Du kan plotta att illustrera lösningen bågar på trig enhetscirkeln. De slutpunkter dessa lösning bågar utgör regelbundna polygoner på trig cirkeln. För exempel:
    • De slutpunkter lösningen ljusbågar x = Pi / 3 + k.Pi / 2 utgör en fyrkant på trig enhetscirkeln.
    • Lösningen bågar x = Pi / 4 + k.Pi / 3 representeras av spetsarna i en regelbunden sexhörning på trig enhetscirkeln.
  7. 7
    Lär dig metoder för att lösa trigonometriska ekvationer.
    • Om det givna trig ekvation innehåller endast en trig funktion, lösa det som en grundläggande trig ekvation. Om den givna ekvationen innehåller två eller flera trigonometriska funktioner finns 2 metoder för att lösa, beroende på transformation möjlighet.
      • A. Tillvägagångssätt 1.
  8. 8
    Omvandla den givna trig ekvation till en produkt i form av:... F (x) g (x) = 0 eller f (x) g (x) h (x) = 0, där f (x), g ( x) och h (x) är grundläggande trigonometriska ekvationer.
    • Exempel 5. Lös: cos x + cos 2x + cos 3x = 0.
    • Lösning: Förvandla den till en produkt, använda trigonometriska identiteter:
    • cos 2x (2cos x + 1) = 0. Därefter löser de 2 grundläggande trigonometriska ekvationer:
    • cos 2x = 0 och 2cos x + 1 = 0
    • Exempel 6. Lös: sin x - sin 3x = cos 2x.
    • Lösning: Förvandla den till en produkt, använda trigonometriska identiteter:
    • -Cos 2x (2sin x + 1) = 0. Sedan lösa 2 grundläggande trigonometriska ekvationer:
    • cos 2x = 0 och 2sin x + 1 = 0.
      • B. Approach 2.
    • Förvandla den givna trig ekvation i en trig ekvation som endast har en unik trig funktion som variabel. Det finns några tips om hur man väljer rätt variabeln. De gemensamma variabler att välja är: sin x = t, cos x = t, cos 2x = t, tan x = t och tan (x / 2) = t.
    • Exempel 7. Lös: sin ^ 2 x + sin ^ 4 x = cos ^ 2 x.
    • Lösning. Ring cos x = t och omvandla den givna ekvationen till en ekvation med bara t som variabel: t ^ 4 - 4T ^ 2 + 2 = 0. Lös denna ekvation för t och sedan lösa de grundläggande trigonometriska ekvationen cos x = t för att få x.
    • Exempel 8. Lös: tan x + 2 tan ^ 2 x = cot x + 2.
    • Lösning. Ring tan x = t. Förvandla den givna ekvationen till en ekvation med t som variabel: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Lös för t från denna produkt, och sedan lösa det grundläggande trigonometriska ekvationen tan x = t för x.
  9. 9
    Lös speciella typer av trigonometriska ekvationer.
    • Det finns några speciella typer av trigonometriska ekvationer som kräver vissa specifika transformationer.
  10. 10
    Lär periodisk egendom trigonometriska funktioner.
    • Alla trigonometriska funktioner är periodiska innebörd de kommer tillbaka till samma värde efter en rotation för en period. Exempel:
        • Funktionen f (x) = sin x har 2Pi som period.
        • Funktionen f (x) = tan x har Pi som period.
        • Funktionen f (x) = sin 2x har Pi som period.
        • Funktionen f (x) = cos (x / 2) har 4PI som period.
    • Om tidsfrist anges i problemet / prov, måste du bara hitta lösningen bågen (er) x inom denna period.
    • OBS: Efter att lösa, kan du kontrollera svaren genom att använda en grafräknare till direkt graf den givna trig ekvationen R (x) = 0. Svaren (reella rötter) kommer att ges i decimaler. Till exempel är Pi erhålls med värdet 3,14