Hur lösa differentialekvationer

En fullständig kurs i differentialekvationer innebär tillämpningar av derivat som ska studeras efter två eller tre termin kurser i kalkyl. Ett derivat är förändringshastigheten av en kvantitet i förhållande till en annan, till exempel, den hastighet med vilken ett objekts förändringar med avseende på tiden (jämför med lutning). Sådana förändringstakt dyka upp ofta i vardagen. Till exempel lagen anger att hastigheten av intresse ackumulering är proportionell mot start summa pengar, som ges av dy / dt = ky, där y är summan av pengar tjänar ränta på ränta, är t tid, och k är en konstant ( dt är en momentan tidsintervall). Även, typiskt, är kreditkort intresse förvärras dagligen och rapporteras som den effektiva räntan, räntan - en differentialekvation ännu kan lösas för att ge den momentana lösningen y = ce ^ (kt), där c är en godtycklig konstant (angivet ränta). Denna artikel kommer att visa dig hur man löser olika typer av differentialekvationer vanligt förekommande, särskilt inom mekanik och.

1. 1
   Sammansatt ränta lag: räntan ackumulation är proportionell mot start summa pengar. Mer allmänt är ändringstakten med avseende på en oberoende variabel proportionell till motsvarande värde för funktionen. Det är, om y = f (t), dy / dt = ky. Lösa detta med hjälp av metoden för avskiljbara variabel, får vi y = ce ^ (kt), där y är en summa pengar ackumuleras på ränta på ränta, är C en godtycklig konstant, k räntan, till exempel intresset för dollar på en dollar för ett år, är t tid. Tid, därför är pengar.
   • Observera att ränta på ränta kan appliceras på många områden i det dagliga livet. Anta att du försöker att späda en salt lösning genom att köra vatten i lösningen för att minska dess saltkoncentration. Hur mycket vatten behöver du lägga till, och hur koncentrationen av lösningen ändring jämfört med den kurs du kör vattnet?
     Låt s = mängd av salt i lösningen när som helst, x = mängden vatten som har runnit igenom, och v = volymen av lösningen. Saltet koncentrering av blandningen ges av s / v. Antag nu att en volym Ax är läckt ut ur lösningen, så mängden salt läckt ut är (s / v) Ax, därav förändring i mängden av salt, As, ges av As = - (s / v) Ax. Dividera båda sida vid Ax, för att få As / Ax = - (s / v). Ta den gräns som Ax -> 0, och vi har ds / dx =-s / v, som är en differentialekvation i form av föreningen intresse lagen, där y är nu s, t är nu x, och k är nu -1 / v.
   • Newtons är ännu en variant av föreningen intresse lagen. Det anges att den tid hastigheten för minskning i kroppstemperatur som överstiger temperaturen i den omgivande luften är proportionell mot kroppstemperatur över den hos den omgivande luften. Låt x = kroppstemperatur över den hos den omgivande luften, t = tid, har vi dx / dt = kx, där k är en konstant. Lösningen på denna differentialekvation är x = ce ^ (kt), där c är en godtycklig konstant, som ovan. Anta denna övertemperatur, x, var först 80 grader, och sjunker till 70 grader efter en minut. Vad blir det efter 2 minuter?
     Låt t = tid i minuter, x = övertemperatur i grader, vi har 80 = ce ^ (k * 0) = c. Också, 70 = ce ^ (k * 1) = 80e ^ k, så k = ln (7/8). Så x = 70e ^ (ln (7/8) t) är en särskild lösning på detta problem. Nu plugg i t = 2, vi har x = 70e ^ (ln (7/8) * 2) = 53,59 grader efter 2 minuter.
   • I atmosfäriska termodynamik, atmosfäriskt tryck p ovanför havsnivån förändras i proportion till höjden h över havet - ännu en variant av ränta på ränta lagen. Den differentialekvation här är dp / dh = kh, där k är konstant.
   • I, hastigheten av en kemisk reaktion, i vilken x är mängden omvandlas i tid t är tiden-ändringshastigheten för x. Låt a = koncentration vid början av reaktionen, sedan dx / dt = k (ax), där k är hastigheten konstant. Detta är en annan variant av ränta på ränta lagen där (ax) är nu den beroende variabeln. Se till att d (ax) / dt =-k (ax), så d (ax) / (ax) =-KDT. Integrera, för att få ln (ax) =-kt + a, eftersom ax = en vid tiden t = 0. Ordna, ser vi att hastigheten konstant k = (1 / t) ln (a / (ax)).
   • I elektromagnetism, ges en med spänningen V och strömmen I (ampere) är spänningen V förbrukas i att övervinna motståndet R (ohm) hos kretsen och induktansen L, vilka regleras av ekvationen V = iR + L (di / dt ), eller di / dt = (V - iR) / L. Detta är en annan variant av ränta på ränta lagen, där V - iR är nu den beroende variabeln.
2. 2
   I akustik, har enkel harmonisk Vibrationsaccelerationen är direkt proportionell mot den negativa av avståndet. Minns att accelerationen är den andra derivatan av avstånd, så d ² s / dt ² + k ² s = 0, där s = avstånd, t = tid, och k ² är storleken på acceleration vid enhetsavstånd. Detta är den enkel harmonisk ekvation, en andra ordningens linjär differentialekvation med konstanta koefficienter, som lösta i figur 6, ekvationerna (9) och (10). Lösningen är s = c ₁ cos kt + c ₂ sin kt.
   Detta kan förenklas ytterligare genom att sätta c ₁ = b sin A, C ₂ = b cos A. Ersätt dessa i, för att få b sin A cos kt + b cos A sin kt. Minns från trigonometri, som sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y, så uttrycket minskar till s = b sin (kt + A). Den vågform lyda enkla harmoniska ekvationen pendlar mellan b och-b, med period 2π / k.
   • Vibrerande våren: ta ett objekt, med massan m, på en vibrerande fjäder. Genom Hookes lag, när fjädern sträcks eller komprimeras s enheter från sin naturliga längd (eller jämviktsläge), utövar det en återställande kraft F proportionell mot s, eller F = - k ² s. Genom Newtons andra lag (kraft är lika med massa gånger acceleration), har vi md ² s / dt ² = - k ² s, eller md ² s / dt ² + k ² s = 0, vilket är ett uttryck för den enkla harmoniska ekvationen.
   • Dämpade vibrationer: Överväga vibrerande fjädern som ovan, med en dämpande kraft. En dämpande kraft är någon effekt, såsom friktion, som tenderar att reducera amplituden av svängningarna i en oscillator. Exempelvis skulle en dämpkraft tillföras av en stötdämpare i en bil. I de flesta fall är den dämpande kraft, F _d, approximativt proportionell mot hastigheten av objektet, eller F _d = - c ² ds / dt, där c ² är en konstant. Kombinera dämpkraften med återställande kraften, vi har - k ² s - c ² ds / dt = md ² s / dt ^2, med Newtons andra lag. Eller, md ² s / dt ² + c ² ds / dt + k ² s = 0. Denna differentialekvation är en andra ordningens linjär ekvation som kan lösas genom att lösa den extra ekvationen mr ² + c ² r + k ² = 0, efter att ersätta s = e ^ (rt).
     Lösning av denna genom den kvadratiska formel, får vi r ₁ = (- c ² + sqrt (c ⁴ - ⁴ mk ²⁾⁾ / 2 m, r ₂ = (- c ² - sqrt (c ⁴ - ⁴ mk ²⁾⁾ / 2 m.
     • Overdamping: Om c ⁴ - 4mk ^2> 0, r ₁ och r ₂ är verkliga och distinkta. Lösningen är s = c ₁ e ^ (r ₁ t) + c ₂ e ^ (r ₂ t). Sedan c ^2, m och k ² är alla positiva, sqrt (c ⁴ - 4mk ²⁾ måste vara mindre än c ^2, vilket innebär att båda rötter, _R1 och _R2, är negativa, och funktionen är i exponentiell avklingning. I detta fall sker svängning inte. En stark dämpning gäller för till exempel, skulle kunna levereras av högviskös olja eller fett.
     • Kritisk dämpning: Om c ⁴ - 4mk ² = 0, r ₁ = r ₂ =-c ² / 2m. Lösningen är s = (c ₁ + C ₂ t) e ^ ((-c ² / 2m) t). Detta är fortfarande exponentiellt avtagande, med ingen oscillering. Dock kommer den minsta minskningen i dämpningskraft få föremålet att oscillera förbi jämviktspunkten.
     • Underdamping: Om c ⁴ - 4mk ² <0, rötterna är komplexa, ges av - c/2m + / ​​- ω I, där ω = sqrt (4 mk ² - c ⁴⁾⁾ / 2 m. Lösningen är s = e ^ (- (c ² / 2m) t) (c ₁ cos ω t + c ₂ sin ω t). Detta är en svängning dämpas med faktorn e ^ (-. (C ² / 2m) t Eftersom både C ² och m är positiva, e ^ (- (c ² / 2m) t) kommer att gå till noll då t går mot oändligheten. Så småningom rörelse kommer att sjunka till noll.

• Många differentialekvationer helt enkelt inte kan lösas av ovanstående metoder. Metoderna ovan, dock räcka för att lösa många viktiga differentialekvationer vanligt förekommande.
• Ersätta din lösning tillbaka till den ursprungliga differentialekvationen, för att se om den ekvationen är uppfylld. Detta kommer att kontrollera att du har löst differentialekvationen korrekt.
• Obs: motsatsen till differentialkalkyl kallas integralkalkyl, som handlar summering av effekterna av ständigt förändrade mängder, till exempel, beräkna avståndet (jämför med d = rt) omfattas av ett objekt när dess momentana hastigheter (hastigheter) över en tidsintervall är kända.

• Till skillnad differentiering, där derivat av någon given uttryck kan beräknas, bara integralen av många uttryck inte kan beräknas. Så slösa inte din tid på att försöka integrera ett uttryck som inte kan integreras. Bara se till att kontrollera en tabell av integraler för att kontrollera. Lösningen av en differentialekvation anses verkställd när den har reducerats till ett uttryck som involverar integraler, om den faktiska integrationen kan ske eller inte.

• Papper
• Penna
• En tabell över Integraler kan hjälpa