Hur att faktorn en kubisk polynom

Del 1: factoring genom att gruppera

1. 1
   Grupp polynomet i två sektioner. Gruppera polynomet i två sektioner kommer att låta oss anfalla varje avsnitt för sig.
   • Säg att vi arbetar med polynomet x ³ + 3x ² - 6x - 18 = 0. Låt oss Group IT i (x ³ + 3x ²⁾ och (- 6x - 18)
2. 2
   Hitta vad som är vanligt i varje avsnitt.
   • Tittar på (x ³ + 3x ^2), kan vi se att x ² är vanligt.
   • Titta på (- 6x - 18), kan vi se att -6 är vanligt.
3. 3
   Faktor gemensamhet av de två termerna.
   • Factoring ut x ² från första avsnittet får vi x ² (x + 3).
   • Factoring ut -6 från andra avsnittet får vi -6 (x + 3).
4. 4
   Om var och en av de två termer innehåller samma faktor, kan du kombinera de faktorer tillsammans.
   • Detta ger oss (x + 3) (x ² - 6).
5. 5
   Hitta lösningen genom att titta på rötterna. Om du har en x ² i dina rötter, kom ihåg att både negativa och positiva tal uppfyller denna ekvation.
   • Lösningarna är 3, och √ 6.

Del 2: factoring med fri sikt

1. 1
   Ordna uttrycket så det är i form av yxa ³ + bx ² + cx + d..
   • Låt oss säga att vi arbetar med ekvationen: x ³ - 4x ² - 7x + 10 = 0.
2. 2
   Hitta alla faktorer av "d". Konstanten "d" kommer att vara det antal som inte har några variabler, t.ex. "x" bredvid.
   • Faktorer är de siffror du kan multiplicera ihop för att få ett annat nummer. I vårt fall, faktorerna av 10, eller "d", är: 1, 2, 5, och 10.
3. 3
   Hitta en faktor som gör att polynomet till lika med noll. Vi vill bestämma vilken faktor gör polynomet lika med noll när vi ersätter faktor till respektive "x" i ekvationen.
   • Låt oss börja med vår första faktorn, 1. Låt oss ersätta "1" för varje "x" i ekvationen:
     (1) ³ - 4 (1) ² - 7 (1) + 10 = 0
   • Detta ger oss: 1 - 4 - 7 + 10 = 0.
   • Eftersom 0 = 0 är en sann berättelse, vet vi att x = 1 är en lösning.
4. 4
   Gör lite omdisponering. Om x = 1, kan vi ordna ett uttalande att se lite annorlunda utan att ändra vad det innebär.
   • "X = 1" är samma sak som "x - 1 = 0" eller "(x - 1)". Vi har precis subtraheras en "1" från varje sida av ekvationen.
5. 5
   Faktor din rotskott ur resten av ekvationen. "(X - 1)" är vår rot. Låt oss se om vi kan räkna ut resten av ekvationen. Låt oss ta det ett polynom i taget.
   • Kan vi faktor (x - 1) ur x ^3? Nej vi kan inte. Var vi kan låna en-x ² från den andra variabeln, då kan vi räkna det: x ² (x - 1) = x ³ - x ^2.
   • Kan vi faktor (x - 1) av vad som återstår från vår andra variabeln? Nej, återigen kan vi inte. Vi behöver låna en annan liten bit från den tredje variabeln. Vi behöver låna en 3x från-7x. Detta ger oss-3x (x - 1) =-3x ² + 3x.
   • Sedan tog vi en 3x från-7x, är vår tredje variabel nu-10x och vårt konstanta är 10. Kan vi räkna detta? Vi kan! -10 (X - 1) =-10x + 10.
   • Vad vi gjorde var att ordna de variabler så att vi kunde räkna ut ett (x - 1) av hela ekvationen. Vår ordnas ekvationen ser ut så här: x ³ - x ² - 3x ² + 3x - 10x + 10 = 0, men det är fortfarande samma sak som x ³ - 4x ² - 7x + 10 = 0.
6. 6
   Fortsätt att ersätta de faktorer i den fria sikt. Titta på siffrorna som vi räknade ut med hjälp av (x - 1) i steg 5:
   • x ² (x - 1) - 3x (x - 1) - 10 (x - 1) = 0. Vi kan ordna detta för att vara mycket enklare att räkna en gång till: (x - 1) (x ² - 3x - 10) = 0.
   • Vi försöker bara faktor (x ² - 3x - 10) här. Detta faktorer ner i (x + 2) (x - 5).
7. 7
   Dina lösningar kommer att vara de beräknad rötter. Du kan kontrollera om dina lösningar faktiskt arbetar genom att koppla var och en för sig, tillbaka till den ursprungliga ekvationen.
   • (X - 1) (x + 2) (x - 5) = 0 Detta ger oss lösningar av 1, -2, och 5.
   • Plug -2 tillbaka in i ekvationen: (-2) ³ - 4 (-2) ² - 7 (-2) + 10 = -8 - 16 + 14 + 10 = 0.
   • Propp 5 tillbaka in i ekvationen: (5) ³ - 4 (5) ² - 7 (5) + 10 = 125 - 100 - 35 + 10 = 0.